3の33乗はどうやって計算すべきか？
果たして自分に解けるだろうか？やってみた。
数学教師「バカ正直に計算して合ってたのはお前だけだ」... on Twitpic
- 3の33乗は何桁の整数か？
- 3の33乗の最高位の数字は何か？
- log10(2)=0.3010
- log10(3)=0.4771
根性
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 177147 531441 1594323 4782969 14348907 43046721 129140163 387420489 1162261467 3486784401 10460353203 31381059609 94143178827 282429536481 847288609443 2541865828329 7625597484987 22876792454961 68630377364883 205891132094649 617673396283947 1853020188851841 5559060566555523
バイナリ法
手計算でやるにしても、素晴らしく賢い方法があった！
- コメントで教えていただいた。（aさん、ありがとう！）
- 3の33乗を以下のように変形すれば良いのだ。
3^33 = (3^32)×3 = ((3^16)^2)×3 = (((3^8)^2)^2)×3 = ((((3^4)^2)^2)^2)×3 = (((((3^2)^2)^2)^2)^2)×3
- 計算してみる。
3^2 = 9 9^2 = 81 81^2 = 6561 6561^2 = 43046721 43046721^2 = 1853020188851841 1853020188851841×3 = 5559060566555523
- 43046721^2の計算はちと辛いが、これなら十分テスト時間中に対応できる計算量かもしれない。
素晴らしい方法だ！
数学
logについて
- log10(2)は、10をn乗したら2になると考えて、そのnを求める関数。
- log10(3)は、10をn乗したら3になると考えて、そのnを求める関数。
つまり...
- log10(2)=0.3010
- log10(3)=0.4771
であれば....
- 10^0.3010=2
- 10^0.4771=3
指数計算の性質
- 10^2×10^2＝10^4
- 10^4÷10^2=10^2
つまり...
- 累乗同士の掛算は、指数の足し算になる。
- 累乗同士の割算は、指数の引き算になる。
- (10^3)^3=1000^3=1000 000 000=10^9
つまり...
- 累乗の累乗は、指数の掛算になる。
計算過程
以上の知識を使って計算してみる。
3^33 ＝ (10^0.4771)^ 33 ＝ 10^(0.4771×33) ＝ 10^15.7443 ＝10^0.7443 × 10^15
- 10^1未満は必ず10未満の数になるので、1桁。
- 上記に10^15を掛算すると0が15個追加され16桁になる。
ゆえに...
- 3の33乗は何桁の整数か？
16桁の整数。
- ここで、10^0.7443 がいくつになるかを考えてみる。
2 ＝ 10^0.3010 3 ＝ 10^0.4771 4 ＝ 10^(0.3010+0.3010) ＝ 10^0.6020 5 ＝ ？ 6 ＝ 10^(0.3010+0.4771) ＝ 10^0.7781
- 4以上6未満の数であることは確認できた。
- しかし、4.xなのか、5.xなのかは、まだ不明。
2 ＝ 10^0.3010 3 ＝ 10^0.4771 1.5 ＝ 10^(0.4771-0.3010) ＝ 10^0.1761 2.25 ＝ 10^(0.1761+0.1761) ＝ 10^0.3522 5.0625 ＝ 10^(0.3522+0.3522) ＝ 10^0.7044 6 ＝ 10^(0.3010+0.4771) ＝ 10^0.7781
つまり...
- 10^0.7443は、5.0625以上6未満、5.xな数であることが確認できた。
ゆえに...
- 3の33乗の最高位の数字は何か？
5
より簡単なlog10(5)の求め方
- 与えられたlog10(2)とlog10(3)しか見えてなくて、
- log10(1.5×1.5×1.5×1.5) ＝ log10(5.0625)を求めるという荒技になってしまっていたが...
よりスマートな方法があった！
- log10(10) ＝ 1は自明なわけなので、（10^1 ＝ 10）
2 ＝ 10^0.3010 10 ＝ 10^1 5 = 10^(1-0.3010) ＝ 10^0.6990
追加
- 先生はちょっと意地悪になった。さらなる問題を出してきた。
では、3の333乗の全桁を正確に求めなさい。何を使っても構いません。
- もはや根性は通用しない。
- 数学の技を駆使しても、全桁を正確に求めるには計算するしかない。
- 普通の電卓で、果たして桁数が足りるのだろうか。
AppleScript
- 桁数が不足...。
- ならば、自分でコードを書いて計算してみた。
math_power(3, 333)
on math_power(base, exponent) set digit to 100000000
set num_list to {1} set carry to 0
repeat exponent times
if num_list's last item ≠ 0 then
set num_list's end to 0
end if
repeat with num in num_list
set num's contents to num * base + carry
if num ≥ digit then
set carry to round num / digit rounding down
set num's contents to num mod digit
else
set carry to 0
end if
end repeat
end repeat
num_list's reverse as text
end math_power
- 果たして、合っているのだろうか？まだ確認する術がない...。
結果： "076098802313205980972042586726503278072789635637207786511701003735791631439306199613044145649378522557935351570949952011833769302566531786879537190794573523"
- 上記の結果は間違っていたので修正版
math_power(3, 333)
on math_power(base, exponent) set digit to 100000000
set num_list to {1} set carry to 0
repeat exponent times
if num_list's last item ≠ 0 then
set num_list's end to 0
end if
repeat with num in num_list
set num's contents to num * base + carry
if num ≥ digit then
set carry to round num / digit rounding down
set num's contents to num mod digit
else
set carry to 0
end if
end repeat
end repeat
repeat with num in num_list
set str to num + digit as text
set num's contents to str's items 2 thru -1 as text
end repeat
num_list's reverse as text
end math_power
結果： "000000000760988023132059809720425867265032780727896356372077865117010037035791631439306199613044145649378522557935351570949952010001833769302566531786879537190794573523"
Perl
$ perl -e 'use Math::BigInt;print 3**333,"\n"'
7.6098802313206e+158
- やはり桁数が不足か...。
もとい！
$ perl -e 'use Math::BigInt;$num=Math::BigInt->new(3);print $num**333,"\n"' 760988023132059809720425867265032780727896356372077865117010037035791631439306199613044145649378522557935351570949952010001833769302566531786879537190794573523 #より簡潔に書けるのであった $ perl -Mbignum -e 'print 3**333,"\n"' 760988023132059809720425867265032780727896356372077865117010037035791631439306199613044145649378522557935351570949952010001833769302566531786879537190794573523
できた！
- AppleScriptの結果と一致した！
