天地明察で円の直径はどのように求められたのか?
いいかげん遅過ぎたが、天地明察を読んだ。
読み始めて暫くすると、その世界に深く引きずり込まれた。*1その中で、最初の方で出題された図形問題がある。
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- 第一章 一瞥即解 一の中盤(P21)
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今、釣(つり=高さ)が9寸、股(こ=底辺)が12寸の勾股弦(こうこげん=直角三角形)がある。その内部に、図のごとく、直径が等しい円を二つ入れる。円の直径を問う。
- 円は三角形に内接し、互いに外接していると解釈した。
この問題を関孝和は一瞬で回答する。渋川春海は数日考えてようやく答えに辿り着く。自分は、30分考えたが先が見えず、そのまま小説の世界に引きずり込まれてしまう。結局読み終わった今でも、答えは分かっていてもそこに至る考え方を理解していない。小説を読んでいる最中から気になって仕方なかったことなので、読み終わった今、徹底的に考えてみることにした。
自己流の解き方
- まず、問題の図に以下のように補助線を入れた。
- 三角形ABCは三平方の定理より斜辺AB=15。
- 斜辺ABを底辺とした時の三角形ABCの高さhは、
15×h/2 = 12×9/2 15h = 108 h = 108/15 = 36/5
- ところで、円の中心から接線の接点に引いた直線は垂直になるので、
- 三角形ACO、三角形BCP、台形ABPO、三角形OPCの面積は、円の半径をrとして以下のように表現できる。
- 以上の三角形と台形の面積を足し算すれば、12×9/2と等しくなるはずである。
12r+9r+(2r+15)r+2r(36/5-r)=12×9 ...... 両辺を2倍して"/2"は削除した 12r+9r+2r^2+15r+(72/5)r-2r^2=108 36r+(72/5)r=108 180r+72r=540 ...... 両辺を5倍した 252r=540 r=540/252 = 90/42 = 15/7 ...... 6で2回約分した
- 問題は円の直径を問うので2倍して、答え30/7。
なんとか解けたが、その過程では非常に煩雑な数式の計算が必要である。果たして、関孝和はこのような計算を瞬時にできたのだろうか?
渋川春海の解き方
渋川春海は、小説の中で以下のように回答している。
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- 第二章 算法勝負 二の終盤(P97)
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術曰く。まず勾股を相乗し、これを二段(2倍)。さらに勾股弦の総和にて除(割る)。これに弦を乗(掛ける)し、また勾股の和にて除なり。
- まず勾股を相乗し、これを二段(2倍)。
- 9×12×2=216
- さらに勾股弦の総和にて除(割る)。
- 216÷(9+12+15)= 216/36 = 6
- これに弦を乗(掛ける)し、
- 6×15=90
- また勾股の和にて除なり。
- 90÷(9+12)=90/21=30/7
30/7が導かれるが、この数式は一体何をしているのか?答えは分かったが、数式の意味がずっと分からなかった。気になって仕方がなかった。でも小説の世界に引き込まれて、話しの続きも立ち止まらずに読みたくて、分からないまま今に至る。
直角三角形に内接する円の性質
この数式を理解するには、三角形の内接円の半径rを求める公式を理解しておく必要がある。
- 直角三角形に内接する円の半径rは以下の数式で求められる。
bc/(a+b+c)
(cr+br+ar)/2 = bc/2 cr+br+ar = bc r(a+b+c) = bc r = bc/(a+b+c)
- r = bc/(a+b+c) が導き出された!
相似な三角形を見つける
- 次に、二つの内接円の接点に一本の接線を引くことで、見えてくる三角形がある。
- 三角形ABCと三角形AFDと三角形EBDは、相似である。
- さらに、三角形AFDと三角形EBDは、合同になる。
- なぜなら、同じ半径の内接円を持ち、かつ相似な三角形なので、合同なのだ。
相似比を利用する
- まず、上記で理解した「直角三角形に内接する円の性質」を利用して、
- 三角形ABCに内接する円の直径を求める。それが以下の部分。
- まず勾股を相乗し、これを二段(2倍)。......直径を求めるので、ここで2倍しているのだ。
- 9×12×2=216
- さらに勾股弦の総和にて除(割る)。
- 216÷(9+12+15) = 216/36 = 6
- まず勾股を相乗し、これを二段(2倍)。......直径を求めるので、ここで2倍しているのだ。
- そして、三角形AFDに内接する円の直径を、以下の相似比を利用して求めている。
- 辺AD+辺DF:辺AC+辺CB
- 三角形AFDと三角形EBDは合同なので、辺DFは辺BDと等しい。
- よって、辺AD+辺DF=15。
- 辺AC+辺CB=9+12=21なのは、設問から明白。
- 三角形AFDの内接円の直径を求めるために、上記の15:21を利用しているのが以下の部分。
- これに弦を乗(掛ける)し、
- 6×15=90
- また勾股の和にて除なり。
- 90÷(9+12)=90/21=30/7
- これに弦を乗(掛ける)し、
- つまり、三角形ABCに内接する円の直径6に、相似比15/21を掛けていたのだ。
6×15/21 = 30/7。明察!
関孝和の解き方
関孝和は答え30/7しか記していないので、以下は自分の想像である。果たして、渋川春海の数式を瞬時に暗算していたのだろうか?暗算に長けていれば、可能だろう。しかし、関孝和は小説の中で一瞥即解。問題をチラ見して、何の迷いもなく答えのみ書いている。おそらく、さらにエレガントな手順があるに違いない。そう考えるのが自然。
3:4:5の直角三角形に内接する円の性質
- 3:4:5の直角三角形に内接する円では、半径と各辺の長さが上記のような比となる。
- 内接円の半径をrとすると、
- 辺CM=rなので、辺BM=3-r。
- 辺BM=辺BLなので、辺BL=3-r。
- 同様に辺CN=rなので、辺AN=4-r。
- 辺AN=辺ALなので、辺AL=4-r。
- 辺AB=辺BL+辺AL、に代入してみた。
5=3-r+4-r 5=-2r+7 2r=2 r=1
- つまり、半径r=1となり、
- 辺CM:辺BM=1:2
- 辺CN:辺AN=1:3
- 辺BL:辺AL=2:3
- 以上のような綺麗な比となるのだ!
二つの合同な三角形から比で求める
- ここで、渋川春海が見つけた相似な三角形に、以下のような補助線を入れて眺めてみる。
- すると、三角形AFDと三角形EBDは合同であり、三角形ABCと相似なので、
- 3:4:5の直角三角形に内接する円の性質より、
- 辺DM:辺BM=1:2
- 辺DL:辺AL=1:3
- よって、辺ABは7等分すると、円の半径r=15/7となる。
- 求められているのは円の直径なので2倍して、30/7。明察!
素晴らしくシンプルに求められた!
- おそらく、関孝和は3:4:5の直角三角形に内接する円の性質を利用したに違いない。
- 三角形に内接する二つの円と見せかけて、その実体は三角形に内接する一つの円の問題だと見破る能力。
- 自分にはその能力がなくて、最も冗長な手段となってしまった...。
参考
- http://www2.ttcn.ne.jp/~nagai/waseda/wasan/tenchi.PDF
- 素晴らしい考察に感謝です!
- GeoFlair
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- 作成した図形を保存できないが、試用可能。
- 数学の図形問題を素晴らしく正確に作図できる!
- やってみると分かるが、これがないとこの日記に挿入した図を描くのは、めちゃくちゃ面倒である。
- 最新のcocoa環境に対応して欲しいなあ。